*** Ancien sujet de bac : Polynésie, septembre 2020

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par  \(f(x) = x\text{e}^{-x^2+1}\) .
On note \((\mathscr{C})\) la courbe représentative de  \(f\)  dans un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)\) .

1. a. Montrer que, pour tout \(x\) réel, \(f(x) = \dfrac{\text{e}}{x} \times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}\) .
    b. En déduire la limite de \(f(x)\) lorsque  \(x\) tend vers  \(+ \infty\) .

2. Pour tout réel  \(x\) , on considère les points \(\text M\) et \(\text N\) de la courbe   \((\mathscr{C})\) d'abscisses respectives  \(x\) et \(-x\) .
    a. Montrer que le point \(\text O\) est le milieu du segment \(\mathrm{[MN]}\) .
    b. Que peut-on en déduire pour la courbe  \((\mathscr{C})\) ?

3. Étudier les variations de la fonction  \(f\) sur l'intervalle \([0~; +\infty[\) .

4. a. Montrer que l'équation \(f(x) = 0,\!5\) admet sur \([0~;+\infty[\)  exactement deux solutions notées \(\alpha\) et \(\beta\) (avec \(\alpha < \beta\) ).
    b. En déduire les solutions sur \([0~;+\infty[\) de l'inéquation \(f(x) \geqslant 0,\!5\) .
    c. Donner une valeur approchée à  \(10^{-2}\) près de \(\alpha\) et \(\beta\) .

5. Soit \(A\) un réel strictement positif. On pose \(I_A = \displaystyle\int_0^A f(x)\:\text{d}x\) .
    a. Justifier que \(I_A = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}- \text{e}^{-A^2+1}\right)\) .
    b. Calculer la limite de \(I_A\) lorsque \(A\) tend vers \(+\infty\) . On admet que cette limite est l'aire, en unité d'aire, située entre la partie de la courbe \((\mathscr{C})\) sur \([0~;+\infty[\) et l'axe des abscisses.

6. Comme illustré sur le graphique ci-dessous, on s'intéresse à la partie grisée du plan qui est délimitée par :

• la courbe \((\mathscr{C})\) sur \(\mathbb R\) et la courbe \((\mathscr{C}')\) symétrique de \((\mathscr{C})\) par rapport à l'axe des abscisses ;
• le cercle de centre \(\Omega\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~ 0\right)\) et de rayon \(0,\!5\) et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

On admet que le disque de centre \(\Omega\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~ 0\right)\) et de rayon \(0,\!5\) et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées sont situés entièrement entre la courbe   \((\mathscr{C})\)   et la courbe   \((\mathscr{C}')\) . Déterminer une valeur approchée, en unités d'aire au centième près, de l'aire de cette partie grisée du plan.